Nieznaczna przewaga, czyli słabość demokracji. Sprawdzamy, czy mogło dojść do fałszerstw wyborczych

Pomyłki zdarzają się wszędzie. Poza laboratoriami fizyków, gdzie błąd pomiaru bywa tak niewielki, że wyniki znane są z dokładnością kilkunastu cyfr po przecinku, na co dzień zdani jesteśmy na dużo mniejszą dokładność.

Nie inaczej jest podczas wyborów. Wyborcze głosy zliczają ludzie. Jest późno w nocy. Nie sprzyja to skupieniu. Może się zdarzyć, że głos zostanie źle policzony. Może również zdarzyć się pomyłka przy wpisywaniu liczby głosów do protokołu. Są to sytuacje rzadkie, jednak z pewnością się zdarzają.

Przy bardzo wyrównanej walce możliwość takich wyborczych pomyłek wzbudza żywe emocje przegranej strony. By je nieco ostudzić, udajmy się w poszukiwanie odpowiedzi na wiele ważkich pytań.

Czy komisje wyborcze się mylą, a jeśli tak, to w jakiej skali? Skąd międzynarodowi obserwatorzy wiedzą, że wybory były uczciwe? Jak można wykryć oszustwa wyborcze i co mają do tego oszustwa podatkowe?

No i najważniejsze. Czy można wykryć dodawanie głosów jednemu kandydatowi hurtem lub dodawanie ich dyskretnie w małych ilościach w wielu komisjach?

Kolejka górska wyborczej nocy, czyli sondaże

Jak niewielka różnica dzieli obydwu kandydatów w prezydenckim wyścigu, przekonaliśmy się podczas powyborczej nocy. Exit poll wskazał na zwycięstwo Rafała Trzaskowskiego 50,3 procentami głosów. Było to dużo poniżej błędu pomiaru, który w tego typu badaniu ankietowym wynosi aż 2 punkty procentowe. Wszystko było jeszcze możliwe.

W badaniu late poll oficjalny wynik głosowania w połowie wylosowanych do badania komisji jest już znany (sondażem zastępuje się jeszcze nieznane wyniki z drugiej połowy komisji). Wskazało ono na wygraną Karola Nawrockiego – 50,7 procent głosów. W tym badaniu błąd pomiaru wynosił jeden punkt procentowy. Teoretycznie nadal możliwe było – choć mało prawdopodobne – że szala przechyli się jednak na korzyść Rafała Trzaskowskiego.

Nadzieje demokratów ostatecznie rozwiał late poll, w którym znane były oficjalne wyniki z 90 proc. wylosowanych komisji. W tym badaniu błąd wynosił jedynie pół punktu procentowego. Wskazało ono na zwycięstwo Karola Nawrockiego 51 procentami głosów.

5,75 głosu na komisję

Wspominam o tej nerwowej wyborczej nocy nie bez powodu. Walka między obydwoma kandydatami była bardzo wyrównana. Powszechnie mówiono o „walce na żyletki”.

369 591 to liczba, która w pewien sposób będzie nam towarzyszyć przez najbliższe pięć lat. Taka była bowiem przewaga głosów oddanych na Karola Nawrockiego nad oddanymi na Rafała Trzaskowskiego w drugiej turze wyborów prezydenckich 1 czerwca 2025 roku. I jest to najmniejsza różnica między kandydatami w dotychczasowych wyborach prezydenckich w Polsce.

Gdyby różnica głosów między kandydatami wyniosła połowę tej liczby, czyli 184 795, byłby remis. W wyborach prezydenckich głosowaliśmy w 32 143 obwodach głosowania (zwanych potocznie komisjami). Jeśli podzielimy „głosy potrzebne do remisu” przez liczbę obwodów, wyjdzie 5,75 na jeden obwód.

O zwycięstwie Karola Nawrockiego przesądziło zatem niecałe sześć głosów w każdej „statystycznej komisji wyborczej”, w której oddano 654 głosy. Rzecz jasna statystycznie, bo ten rozkład był zupełnie nierównomierny.

Jak bardzo mylą się komisje

W badaniach sondażowych podczas wyborów zakłada się malejący błąd pomiaru: dwa punkty procentowe w exit pollu, jeden punkt w late pollu, pół punktu w drugim late pollu.

A jaki jest zwykle błąd w oficjalnym liczeniu głosów? Mniej więcej wiadomo.

Przeciętny amerykański wyborca głosuje przeciętnie dwa razy w roku (w latach przestępnych w wyborach lokalnych, w latach parzystych w stanowych i federalnych, rzadziej rozpisywane są wybory uzupełniające). To setki wyborów w skali kraju rocznie.

Amerykańska organizacja Fair Vote przyjrzała się tysiącom głosowań stanowych w latach 2000-2015. Powtórne liczenie głosów nastąpiło w zaledwie 27 przypadkach z 4687. Przeciętna różnica wyników między pierwszym a drugim liczeniem wyniosła zaledwie 0,019 procent głosów.

(Różnice między wynikiem pierwszego a powtórnego przeliczenia głosów okazały się tym mniejsze, im więcej oddano głosów. W ośmiu głosowaniach, w których oddano mniej niż milion głosów, średnia różnica wynosiła 0,039 procent. W siedmiu, w których oddano ponad dwa miliony głosów, średnia różnica wyniosła 0,016 procent głosów).

Załóżmy, że w drugiej turze wyborów prezydenckich 1 czerwca błędnie zliczono 0,02 proc. głosów (z 21 033 457 oddanych). To jedynie 4206 głosów.

Jak często myliły się komisje w Polsce

Podstawowym założeniem przy tego rodzaju analizach jest, że szukamy komisji, w których w drugiej turze któremuś z kandydatów przybyło nieproporcjonalnie więcej głosów, niż zebrał jego obóz (nazwijmy je „liberalnym” i „konserwatywnym”) w pierwszej turze.

Jak oszacował prof. Jarosław Flis z Uniwersytetu Jagiellońskiego (i opowiedział „Wyborczej”), różnica wynikająca z wyborczych pomyłek jest raczej marginalna.

Prof. Flis sprawdzał to na dwa sposoby. Zbadał różnicę pomiędzy Trzaskowskim a Nawrockim w pierwszej i w drugiej turze oraz różnicę pomiędzy „obozami” w pierwszej i kandydatami w drugiej turze.

Porównał, jak ta różnica się zmieniła w drugiej turze. Ustalił, że komisji, gdzie prawdopodobna podmiana głosów kandydatów mogła zmienić wynik któregoś z nich o więcej niż 50 głosów, było nie więcej niż kilkanaście.

W sumie z analizy wynikło, że Karol Nawrocki zyskał dzięki temu niecałe 3 tysiące głosów, Rafał Trzaskowski – 2 tysiące. Pięć tysięcy to nieco więcej niż „standardowa pomyłka”, którą na podstawie amerykańskich badań szacowaliśmy wyżej na nieco ponad cztery tysiące głosów.

Prof. Flis sugeruje, by do systemu informatycznego PKW wprowadzić „bezpiecznik”. Gdy zajdzie podejrzenie, że głosy zostały przypisane kandydatom odwrotnie, system mógłby wysyłać zalecenie o powtórnym przeliczeniu głosów.

Jaka różnica sugeruje pomyłkę?

Prof. Flis poszukiwał komisji, w których wynik mógł być zawyżony (względem pierwszej tury) o 50 głosów lub więcej. Można jednak przyjąć inny próg i szukać komisji, gdzie wyniki kandydata odbiegają od sumy głosów jego i jego obozu o pewną ustaloną procentowo proporcję.

Kajetan Mastela, autor strony internetowej Defoliator.pl i strony Defoliator na Facebooku przeprowadził wyborczą symulację. Napisany przezeń program przeprowadził symulację przepływu głosów między kandydatami w wielu wariantach.

Następnie wytypował obwody, gdzie suma głosów kandydata w drugiej turze była o jedną trzecią lub więcej wyższa od sumy głosów kandydata i symulacji (wielu różnych) przepływów głosów z jego „obozu” w pierwszej turze i gdzie jednocześnie na przeciwnika padło mniej głosów (niż wynikało z takich symulacji przepływów).

Algorytm zidentyfikował ponad 800 komisji, które spełniły powyższy warunek na korzyść Karola Nawrockiego. Łączna suma „nadwyżkowych" głosów dla Nawrockiego w tych komisjach (różnica między wynikiem realnym a symulowanym) wyniosła ponad 36 000.

Ten sam algorytm znalazł też ponad 200 komisji spełniających ten sam warunek na korzyść Rafała Trzaskowskiego. Łączna suma „nadwyżkowych" głosów dla Trzaskowskiego w tych miejscach nieco przekraczała 4000.

Liczba „nadmiarowych” głosów w przypadku Rafała Trzaskowskiego z grubsza odpowiada amerykańskim danym (około 0,02 procent). Jest ośmiokrotnie wyższa w przypadku Karola Nawrockiego (0,17 procent), ale nadal bardzo niska.

Nie można wykluczyć, że w niektórych komisjach doszło do przypadków zamiany głosów. Jednak raczej wątpliwe jest, by mogło mieć to wpływ na wynik wyborów.

Trzeba podkreślić, że są to analizy oparte na symulacjach. To eksperymenty myślowe, które pokazują możliwą skalę nadużyć. Nie dowody na nadużycia.

Wybory czy loteria?

Niemniej jednak takie wyliczenia budzą pewne wątpliwości odnośnie do „dokładności demokratycznych wyborów” i możliwości wyłapywania pomyłek przez system wyborczy.

„Potwierdzone przypadki rażących błędów w Krakowie czy Mińsku Mazowieckim (zauważcie, że obie komisje algorytm wyłapał praktycznie na samym szczycie tych anomalii – jako te najbardziej istotne), gdzie głosy przepisano całkowicie na odwrót, pokazują, że system sam z siebie nie wychwytuje nawet tak gigantycznych pomyłek”, pisał Defoliator na Facebooku.

„Rodzi to fundamentalne pytanie: skoro nikt nie zauważył błędów na setki głosów, to kto gwarantuje, że nie było tysięcy mniejszych pomyłek, których nie widać gołym okiem w statystyce, ani z pomocą algorytmu, jak ten opracowany przeze mnie?”

„Nie chodzi o to, że ktoś sfałszował wybory – absolutnie nie o to mi chodzi, tylko o to, czy to są wybory, czy loteria błędów w komisjach? Gramy w lotto czy chodzimy do wyborów?”.

Ludzie mają prawo popełniać błędy i będą je popełniać, komentował Defoliator w późniejszej rozmowie z OKO.press. To system liczenia ma być tak skonstruowany, by je wyłapywał.

Obywatelska kontrola

Po tym, jak PKW sporządziła protokół z wynikami wyborów, nie ma już możliwości, by sprawdziła powtórnie wyniki głosowań. Karty są już w gminach, w zaplombowanych workach i można je udostępnić wyłącznie na życzenie sądu lub prokuratury – tłumaczył „Wyborczej” dr Kamil Stępniak, doktor nauk prawnych, wykładowca akademicki, specjalista w zakresie prawa konstytucyjnego.

Można jedynie – śladem sugestii prof. Flisa – zaproponować modyfikację systemu informatycznego PKW. Powinien sygnalizować konieczność powtórnego przeliczenia głosów w przypadkach mogących budzić wątpliwość. Czym są „przypadki budzące wątpliwość”, powinni zdecydować eksperci. I raczej powinni być to statystycy.

To jednak metoda typu „mądry Polak po szkodzie”. Co zrobić, jeśli chcemy wyłapać pomyłki przed wpisaniem błędnych danych do protokołu? Jest mnóstwo rozwiązań, (które nasunęły się mi, autorowi analizy oraz byłemu przewodniczącemu komisji, który woli pozostać anonimowy).

1. Głosy liczą dwie niezależne komisje: wyborcza i niezależnych obserwatorów. Jeśli uzyskują różne wyniki, któryś z zespołów się pomylił, a głosy trzeba przeliczyć ponownie.
2. Po zamknięciu lokalu wyborczego członkowie komisji muszą włączyć kamery, które będą nagrywać otwarcie urny, liczenie głosów i wpisanie wyników do protokołu. Nagranie jest dostępne publicznie.
3. Głosy można oddawać jedynie w kabinie wyposażonej w kamerę, która robi zdjęcie wyborczej karty. Zdjęcia przesyłane są na serwer (to raptem kilkadziesiąt megabajtów na komisję). Każdy wyborca może policzyć, czy protokół się zgadza ze zdjęciami.
4. Urna jest wyposażona w skaner, który przy wrzucaniu kart je skanuje.
5. Głosowanie odbywa się przez tablet, członek komisji identyfikuje wyborcę i zamiast wręczać mu kartę do głosowania, odblokowuje możliwość oddania głosu na tablecie.

Bez technologicznych rozwiązań pozostaje punkt pierwszy. Czyli obserwatorzy podczas liczenia głosów lub podwójne liczenie głosów.

Obserwacja i rewolucja

W grudniu 1985 roku po serii skandali, protestach oraz dziennikarskich śledztwach, które obnażyły machinacje reżimu Ferdinanda Marcosa (rządzącego nieprzerwanie od 1965 roku), rozpisano przedterminowe wybory prezydenckie, wyznaczone na 7 lutego następnego roku.

NAMFREL (National Citizens' Movement for Free Elections, czyli „Narodowy Ruch Obywatelski na rzecz Wolnych Wyborów”), który powołało ponad 120 pozarządowych organizacji, wystawił w tych wyborach kandydaturę Corazon Aquino.

FIlipiński odpowiednik Państwowej Komisji Wyborczej (COMELEC) zgodził się, aby NAMFREL został obserwatorem wyborów. Pół miliona członków tej organizacji zostało mężami zaufania w komisjach wyborczych, nadzorowało ich przebieg oraz liczenie głosów.

Co niezwykle istotne, organizacja stworzyła też własny system przesyłania wyników i ich zliczania. Objął 69,03 procent, czyli ponad dwie trzecie wyborczych komisji. Wyniki te wskazywały na przewagę Corazon Aquino, która zebrała 52,29 procent głosów.

Przy takiej przewadze i tak wielkiej próbie statystycznej praktycznie niemożliwe było, że wybory wygrał Marcos. COMELEC ogłosił jednak, że wybory wygrał właśnie on i zebrał 53,62 procent głosów. Międzynarodowi obserwatorzy stwierdzili, że wybory nie zostały przeprowadzone uczciwie.

Dwa dni po wyborach z siedziby COMELEC w proteście wyszło 35 informatyczek i informatyków – było wśród nich 30 kobiet i pięciu mężczyzn. Owszem, już wtedy były komputery i systemy informatyczne (przypominam najmłodszym czytelnikom), były też częściej obsługiwane przez kobiety.

Reszta jest historią, ale bardzo burzliwą, więc ją zwięźle przypomnę.

Upadek Marcosa

Protestujący udali się do świątyni redemptorystów, gdzie zorganizowali konferencję prasową. Po niej, z obawy przed reżimem, ukrywali się poza miejscami zamieszkania.

Nie musieli ukrywać się długo, bowiem 22 lutego 1986 roku minister obrony Juan Ponce Enrile, zastępca szefa sztabu generalnego generał Fidel Ramos oraz kilkuset innych wojskowych wypowiedzieli posłuszeństwo Marcosowi i zamknęli się w kwaterze głównej sił zbrojnych. Dyktator wystosował dwudziestoczterogodzinne ultimatum: bezwarunkowa kapitulacja albo śmierć.

Arcybiskup Manili, kardynał Jaime Sin, po radiowej modlitwie zwrócił się do mieszkańców stolicy o przybycie pod kwaterę główną. Na ulice wyszły dwa miliony ludzi. Wysłani do tłumienia demonstracji żołnierze odmawiali wykonania rozkazów i przyłączali się do manifestantów.

Demonstracje trwały cztery dni. 25 lutego 1986 roku Corazon Aquino ogłosiła przejęcie władzy. Pozbawiony poparcia armii Marcos nie miał wyjścia i uznał swoją porażkę wyborczą.

Kardynał Sin powstrzymał lewicową partyzantkę przed zabiciem dyktatora. Prezydenta Ronalda Reagana przekonał do udzielenia azylu Marcosowi (który zmarł w USA trzy lata później).

Lekcja z Filipin, czyli międzynarodowi obserwatorzy liczą

Morał z filipińskiej rewolucji jest taki, że warto obserwować wybory, nawet jeśli rozpisuje je reżim i fałszuje je dyktator. Filipińska organizacja NAMFREL do dziś uważana jest za pioniera „podwójnej rejestracji głosów” (parallel vote tabulation, w skrócie PVT).

Odmianą tej metody, opartą na mniejszej, lecz reprezentatywnej statystycznie próbie komisji wyborczych, jest quick count. Przypomina badanie late poll wykonywane przez ośrodki badania opinii publicznej, które wykorzystuje głosy zliczone w 90 proc. wylosowanych komisji wyborczych. Quick count bierze pod uwagę głosy ze stu procent wybranych komisji.

Tę metodę wykorzystują organizacje międzynarodowe, w tym OBWE. Wspomina ją na przykład podręcznik dla obserwatorów wyborów „Handbook for Domestic Election Observers” w rozdziale 10B. Nawiasem mówiąc, siedzibą Biura Instytucji Demokratycznych i Praw Człowieka (dawniej Biura Wolnych Wyborów, ODIHR) jest Warszawa.

Spisek, czyli niewielkie szanse powodzenia

No dobrze, nie było dosypywania głosów na dużą skalę, ale może podczas wyborów może dojść do zorganizowanego „dyskretnego fałszerstwa wyborczego”, czyli doliczania któremuś z kandydatów niewielkiej liczby głosów w wielu okręgach wyborczych? To byłoby niezwykle trudne do wykrycia. I do przeprowadzenia.

Jednak ten sposób ma swoją zasadniczą wadę. Możemy założyć wariant mniej dyskretny (dopisujemy po 100 głosów w 3 tysiącach komisji) lub bardziej dyskretny (dopisujemy po 10 głosów w 30 tysiącach komisji). Tak czy inaczej, będziemy potrzebować 3 do 30 tysięcy wtajemniczonych osób.

Były przewodniczący jednej z komisji wyborczych powiedział mi anonimowo, że takie działanie w komisji w pojedynkę byłoby ryzykowne, a szanse powodzenia raczej niewielkie. Znacznie łatwiejsze, jeśli robiłyby to dwie współpracujące ze sobą osoby.

To jednak oznacza, że do takiej operacji potrzeba dwa razy więcej osób niż komisji, w których chce się fałszować głosy. W naszym przypadku między 6 a 60 tysięcy osób.

Krótkie życie konspiracji

Jak w 2015 roku pisał Umberto Eco: „Jeśli istnieje jakiś sekret, nawet znany tylko jednej osobie, zostanie odkryty, choćby i w łóżku kochankowi. [...] Jeśli istnieje sekret, zawsze istnieje też odpowiednia suma, która zapewni rozwiązanie czyjegoś języka”.

Prawdopodobieństwo, że ktoś dochowa tajemnicy (ani nie zostanie wykryty) może być wysokie, ale przecież jest mniejsze od pewności. Jeśli szanse na dochowanie tajemnicy wynoszą 99,9 procent, przy stu osobach trzeba odpowiadającą tej proporcji liczbę (czyli 0,999) podnieść do setnej potęgi.

Im więcej osób, tym większe prawdopodobieństwo wpadki. Gdzieś w okolicach 650 osób następuje krytyczny próg i statystyczne szanse, że spisek zostanie ujawniony, zaczynają przeważać. Przy tysiącu wtajemniczonych szanse na dekonspirację wynoszą aż 63 procent. Przy pięciu tysiącach aż 99,33 procent.

Przyjęty przez nas powyższy model ma jedną wadę. Nie uwzględnia upływu czasu – a tymczasem wiemy, jak długo tajemnice pozostają niewykryte.

Dlaczego teorie spiskowe to bzdury

Są afery, które zostały wykryte. Na przykład eksperyment medyczny w Tuskegee (opisany w 1972 roku), fałszowanie ekspertyz kryminologicznych przez FBI (ujawnione w 1998 roku), oraz pogram PRISM (ujawniony przez Edwarda Snowdena w 2013 roku).

Te trzy wykryte konspiracje posłużyły jako źródło danych fizykowi z Oksfordu. Na ich podstawie dr David Grimes stworzył matematyczny model długości trwania spisków w zależności od liczby spiskowców. Jego pracę opublikowano w PNAS w 2016 roku.

Z wyliczeń wynika, że nawet jeśli brać pod uwagę same czynniki wewnętrzne (czyli lojalność konspiratorów), konspiracje liczące tysiąc osób trwają najwyżej dekadę. Te liczące dwa i pół tysiąca osób maksymalnie pięć lat. Przy pięciu tysiącach wtajemniczonych jest to około roku, powyżej tej liczby czas liczy się już jedynie w miesiącach.

To maksymalny czas, który nie bierze pod uwagę czynników zewnętrznych. A czynniki zewnętrzne przecież istnieją. Ktoś może wykryć tajemnicę przypadkiem lub ją wywęszyć. Ukrywanie afer jest naprawdę niebywale trudne. Spiski prędzej niż później wychodzą na jaw.

Gdyby teorie spiskowe były prawdą – czyli istniałyby ukrywane przed opinią publiczną tajemnice skrywane przez tysiące osób – szybko byśmy się o tym dowiedzieli. Gdyby naukowcy kłamali w kwestii zmian klimatu, ukrywano istnienie lekarstwa na raka albo to, że ludzie nigdy nie wylądowali na Księżycu, taka konspiracja trwałaby najwyżej niecałe cztery lata, wylicza dr Grimes.

Jeśli jednak tak było, pewne jest, że taki spisek szybko dokona żywota i dowiemy się o tym niebawem.

Prawo, które nie jest prawem

Napisałem wcześniej, że niebywale trudno byłoby wykryć doliczanie któremuś z kandydatów niewielkiej liczby głosów w wielu okręgach wyborczych. Zapomniałem o „prawie Benforda”.

Nie jest prawem, jest pewną statystyczną prawidłowością, która wynika z natury systemu dziesiętnego. Jeśli weźmiemy odpowiednio duży zbiór danych, pierwsze cyfry występujących w nim liczb wcale nie układają się losowo.

Jedynki występują najczęściej i stanowią 30,1 procent pierwszych cyfr. Dwójki są niemal dwukrotnie rzadsze (17,6 proc.), jeszcze rzadsze trójki (12,5 proc.) i tak dalej. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana ze zbioru danych liczba zacznie się od dziewiątki, wynoszą już tylko 4,6 procent.

Ten z pozoru dziwny rozkład wynika z faktu, że w systemie dziesiętnym dodanie do siebie dwóch liczb większych niż pięć daje wynik dziesięć lub więcej, zatem w tej pozycji „licznik się przekręca”. Mniejsze liczby będą zatem występować częściej – i tym częściej im są mniejsze. Z tego też powodu średnia pierwszych cyfr w odpowiednio dużym zbiorze danych powinna być zbliżona nie do pięciu, a wartości 3,440.

Prawidłowość tą wykorzystują czasem urzędy statystyczne, by wykrywać fałszerstwa w zeznaniach podatkowych.

Podejrzenia to nie dowody

Można taką analizę pod kątem rozkładu Benforda przeprowadzić dla danych wyborczych. Po wyborach prezydenckich w USA w 2020 roku pojawiły się liczne głosy, że liczby głosów oddanych na Joe Bidena w niektórych okręgach nie spełniają „prawa Benforda”.

O niczym to jednak nie świadczy. Eksperci wypowiadający się wtedy dla Reutersa byli zgodni. Odstępstwa od reguły Benforda mogą stanowić pewien sygnał ostrzegawczy o wyborczych nieprawidłowościach, ale są bardzo słabym dowodem, jeśli są nim w ogóle.

Jest ku temu pewien istotny powód. Reguła Benforda działa, jeśli analizowane liczby mają dużą rozpiętość rzędów wielkości – są wśród nich dziesiątki, setki, tysiące i dziesiątki tysięcy. Ten warunek zwykle spełniają liczby w zeznaniach podatkowych.

Liczby głosów oddanych w wyborczych okręgach mają zwykle zakres jednego lub dwóch rzędów wielkości (są to zwykle setki lub tysiące). Jest wiele naukowych analiz, które wskazują słabość tej reguły Benforda w identyfikacji wyborczych manipulacji. Niektóre wręcz przyrównują jej skuteczność do rzutu monetą („Political Analysis”, 2017).

Jak wykryć wyborcze fałszerstwa

Trudno wykryć jest tylko te najdrobniejsze wyborcze fałszerstwa. Te większe są stosunkowo łatwe do zauważenia w danych.

W pracy opublikowanej w PNAS w 2012 roku badacze z Austrii analizowali, jakie statystyczne metody analizy danych są mniej, a jakie bardziej skuteczne w wykrywaniu wyborczych fałszerstw. Jedną z takich metod jest analiza frekwencji.

Weźmy pod uwagę prostą rzecz. Preferencje wyborców odnośnie do pory głosowania mają normalny rozkład losowy, zwany też rozkładem Gaussa. Na wykresie krzywa obrazująca liczbę wyborców odwiedzających lokale w ciągu dnia przypomina kształtem dzwon. Niewielu wyborców stawia się tuż po otwarciu lokali, jednak ich liczba dość szybko rośnie, osiąga pewne maksimum, po czym w podobnym tempie spada.

W Polsce wyborcy konserwatywni mobilizują się zwykle wcześniej niż liberalni. Ci pierwsi częściej głosują przed obiadem, drudzy po południu. Można jednak zakładać, że rozkład preferencji obu grup jest zbliżony. Krzywe frekwencji mają podobny kształt, przesunięte na osi czasu są jedynie ich maksima.

Dzięki rozkładowi normalnemu odwiedzin wyborców w lokalach wyborczych suma oddanych głosów ma inny charakterystyczny rozkład. To tak zwana funkcja sigmoidalna. Na wykresie przypomina mocno spłaszczoną literę S. Charakterystyczne jest to, że startuje niemal płasko, szybko wznosi się ku górze, a jej koniec znów jest niemal poziomy.

Lokalnie te preferencje może zmienić na przykład załamanie pogody. W skali całego, zwłaszcza dużego, kraju odstępstwa od rozkładu normalnego powinny być rzadkie.

W analizowanych przez badaczy wyborach w Rosji (w 2011 i 2012 roku) krzywa ta w ogóle się nie spłaszcza w miarę upływu dnia. Nawet przed samym zamknięciem lokali wyborczych uparcie wspina się ku górze. Prawdziwy cud nad urną.

Preferencje rosyjskich wyborców nie mogą być aż odległe od rozkładu normalnego. W dużej populacji to po prostu statystycznie nieprawdopodobne.

Co widać w chmurach (głosów)

Przedstawiony wyżej sposób jest bardzo zgrubny. Są subtelniejsze metody analizy.

Liczba głosów oddana na zwycięzcę powinna być proporcjonalna do liczby wszystkich oddanych głosów. Ta proporcja może się wahać, ale też w pewnym zakresie i jej rozkład powinien być w miarę „normalny”.

Jeśli dane z poszczególnych komisji naniesiemy na wykres, na którym na osi pionowej będzie liczba głosów oddanych na zwycięzcę, a na poziomej frekwencja, powinniśmy uzyskać w miarę jednolitą chmurę. Jej kształt i położenie nie są aż tak istotne.

Ważne jest jedno. Pusty górny prawy róg wykresu. W nim mogą znaleźć się tylko komisje, w których frekwencja była dużo wyższa od średniej i jeden z kandydatów miał nieproporcjonalną przewagę.

Rycina 1 z wyżej cytowanej pracy pokazuje takie wykresy dla wyborów w Austrii, Czechach, Finlandii, Francji, Hiszpanii, Kanadzie, Polsce, Rosji (w 2011 i 2012 roku), Rumunii, Szwajcarii i Ugandzie.

Znów Uganda i dwa razy Rosja. Jest chmura główna i mniejsza, w prawym górnym rogu wykresu.

Cóż to oznacza? Były dość liczne dziwne komisje, w których przy niebywale dużej frekwencji głosowano niemal wyłącznie na zwycięzcę wyborów.

Statystycznie to niemal niemożliwe. Najwyraźniej ktoś sztucznie dorzucał głosów zwycięzcy i tyle.

Mamy własną analizę

Zrobiliśmy taką analizę z wykresem dla drugiej tury wyborów prezydenckich. Podrzuciłem pracę z PNAS-u autorowi strony Defoliator, który napisał odpowiedni program. Przeanalizował nam wyniki wyborów z PKW komisja po komisji.

Oto jej wynik:

Obie chmury są swoimi lustrzanymi odbiciami wzdłuż dwóch osi – poziomej (poparcia 50 procent) oraz pionowej (frekwencji 71,63 procent).

Nie ma obwodów wyborczych, gdzie któryś z kandydatów zebrałby nieproporcjonalnie wysoką liczbę głosów. Nie ma też obwodów, gdzie byłaby dziwnie duża frekwencja. Nie ma śladów fałszerstwa polegającego na dopisywaniu znaczącej liczby głosów któremukolwiek z kandydatów ani na zawyżaniu frekwencji.

Na tych wykresach widać natomiast, że Rafał Trzaskowski zdobył przewagę głównie w tych komisjach, gdzie frekwencja była najwyższa (jego chmura skręca u góry w prawo). Mógł liczyć głównie na bastiony swoich zwolenników, mniej głosów zbierał poza nimi (poniżej linii 50 procent poparcia jego chmura zauważalnie blaknie).

Karol Nawrocki odwrotnie, w obwodach o największej frekwencji miał najsłabsze wyniki (to ten ogon chmury skręcający w prawo na dole). Natomiast większość głosów zebrał w obwodach, gdzie wcale nie wygrywał (jego chmura jest ciemniejsza poniżej linii 50 procent głosów).

Było też całkiem sporo obwodów, w których Nawrocki zdobywał powyżej 80 proc. głosów (jego chmura ma wierzchołek ponad tą linią). W przypadku Trzaskowskiego takich nie ma wcale.

Obywatele i obywatelki!

Na pytanie o uczciwość wyborów jest jedna odpowiedź. Gwarancją ich uczciwości jest obywatelska kontrola. To obywatele wyśledzili statystyczne anomalie i pomyłki komisji wyborczych. To obywatele mogą być obserwatorami wyborów.

Nie chodzi jedynie o to, by obecność obserwatora zapobiegała ewentualnym wyborczym oszustwom. Obserwatorzy mogą również liczyć głosy niezależnie od komisji (przypomnijmy Filipiny).

Czy wynik Karola Nawrockiego może być efektem sumy wyborczych oszustw?

Nie widać śladów zmasowanego dosypywania mu głosów (ballot stuffing). Organizacja dopisywania mniejszej liczby głosów w tysiącach komisji jest teoretycznie możliwa. W praktyce wymagałaby zaangażowania kilku tysięcy osób i utrzymania tajemnicy. Statystyczne szanse na utrzymanie spisku liczącego pięć tysięcy osób wynoszą 0,67 procent.

Brzytwa Ockhama każe nie mnożyć bytów bez potrzeby. Prostszym wytłumaczeniem jest, że Karol Nawrocki wygrał po prostu głosami wyborców.

W III RP tylko raz przywódcy partyjni sugerowali, że doszło do fałszerstwa wyborczego, przypomina w „Wyborczej” Agnieszka Kublik. Byli to politycy PiS-u.

„Ogłoszone przez PKW wyniki uważamy za nieprawdziwe, nierzetelne, żeby po prostu nie użyć słowa sfałszowane”, krzyczał prezes PiS Jarosław Kaczyński po wyborach samorządowych w 2014 roku. Partia złożyła do sądów wiele skarg wyborczych.

Wszystkie skargi sądy wówczas odrzuciły. Eksperci zgadzają się jednak, że przy organizacji wyborów i liczeniu głosów wyszła na jaw kiepska ich organizacja, co miało wpływ na przebieg głosowania.

Epilog

W środę 11 czerwca prezydent elekt otrzymał uchwałę Państwowej Komisji Wyborczej w sprawie stwierdzenia wyniku wyboru prezydenta RP. Podczas uroczystości na Zamku Królewskim wręczył mu ją szef PKW Sylwester Marciniak.

W czwartek 12 czerwca Sąd Najwyższy ogłosił postanowienie – wydane 11 czerwca – którym „dopuszcza dowód z oględzin kart do głosowania”. Dotyczy to 13 komisji (m.in. nr 95 w Krakowie i nr 13 w Mińsku Mazowieckim).

Są na górze „podejrzanych komisji” wytypowanych przez algorytm.

Z kolei prokurator generalny Adam Bodnar zarekomendował 12 czerwca oględziny kart wyborczych w dziewięciu komisjach, które częściowo pokrywają się z tymi wytypowanymi przez sędziów SN. Zwraca też uwagę, że protestów wyborczych nie powinna analizować Izba Kontroli Nadzwyczajnej i Spraw Publicznych SN – ze względu na sposób jej obsadzenia w niekonstytucyjnej procedurze po reformie PiS. Sugeruje, by sprawy te oddać Izbie Pracy i Ubezpieczeń Społecznych, w której zasiadają sędziowie wybrani w poprzedniej procedurze.

To jednak zupełnie inna kwestia, a ponowne przeliczenie głosów w kilkunastu „podejrzanych" komisjach nie zmieni oczywiście wyborczego wyniku.