Czy ręczne liczenie głosów wyborczych zawodzi?

Tegoroczne wybory prezydenckie przypominały film sensacyjny z licznymi zwrotami akcji. W sondażach przed drugą turą prowadził Karol Nawrocki, jego kontrkandydat zaczął go przeganiać dopiero w ostatnim tygodniu poprzedzającym wyborczą niedzielę 1 czerwca.

Przewaga Rafała Trzaskowskiego w sondażach była jednak niewielka – rzędu jednego punktu procentowego. Zważywszy na błąd pomiaru, który w takich badaniach jest właśnie rzędu jednego – trzech punktów procentowych, nie dawało to żadnej pewności, kto wygra.

Równie emocjonująca była wyborcza noc. Najpierw był exit poll wskazujący na bardzo niewielką wygraną Rafała Trzaskowskiego. Według sondażu zebrał w drugiej turze 50,3 procent głosów, czyli zaledwie 63 tysiące więcej niż kontrkandydat.

Potem – w środku nocy – pojawiły się dwa badania late poll, które wskazały wygraną Karola Nawrockiego. Po przeliczeniu głosów we wszystkich komisjach rano okazało się, że wygrał głosami 50,88 procent wyborców.

Trudno pogodzić się z przegraną, gdy exit poll wskazuje (słabą, ale jednak) wygraną kandydata.

Nie ma śladów na wyborcze fałszerstwa

Dość szybko pojawiły się statystyczne analizy wskazujące na nieprawidłowości w liczeniu głosów. Konsekwentnie wskazywały komisje, gdzie w pierwszej turze wygrał Trzaskowski, w drugiej większość głosów przypadła Nawrockiemu.

O analizach danych, które wykrywały takie zjawiska, pisałem dwa tygodnie temu w tekście „Nieznaczna przewaga, czyli słabość demokracji”. Wyjaśniałem w nim, że nie ma śladów na fałszerstwa wyborcze na dużą skalę, polegające na dorzucaniu znacznej ilości głosów któremuś z kandydatów.

Kajetan Mastela (autor bloga Defoliator, gdzie analizuje różne dane naukowe i statystyczne) opierając się na metodologii zawartej w pracy „Statistical detection of systematic election irregularities” opublikowanej w PNAS, wykonał dla nas analizę rozkładu głosów oraz frekwencji w drugiej turze.

Z tej analizy wynika, że nie ma komisji, w których wysoka liczba głosów oddana na któregoś z kandydatów łączyłaby się z nienaturalnie wysoką frekwencją, co jest śladem wyborczych fałszerstw na dużą skalę.

Z kolei dopisywanie mniejszej liczby głosów w dużej liczbie komisji wymagałoby porozumienia tysięcy osób. Przez to byłyby niewielkie szanse na utrzymanie się tajemnicy. Spiski obejmujące tysiące osób są statystycznie skazane na dekonspirację.

Jak w 2015 roku pisał Umberto Eco: „Jeśli istnieje jakiś sekret, nawet znany tylko jednej osobie, zostanie odkryty, choćby i w łóżku kochankowi. (...) Jeśli istnieje sekret, zawsze istnieje też odpowiednia suma, która zapewni rozwiązanie czyjegoś języka”.

Skądinąd jest to powód, dla którego wiara w teorie spiskowe nie ma głębszego sensu. Gdyby tysiące naukowców utrzymywały sekret o odwiedzinach Ziemi przez kosmitów (lekarstwie na raka, braku ocieplenia klimatu – niepotrzebne skreślić), taka konspiracja upadłaby w ciągu kilku tygodni.

50 tysięcy protestów wyborczych

Poniedziałek 16 czerwca był ostatnim dniem na składanie do Sądu Najwyższego protestów przeciwko wyborowi prezydenta. Można było zrobić to listownie, decydowała data nadania przesyłki. Do poniedziałku zarejestrowano 10,5 tys. protestów, liczne spływały jednak nadal pocztą. W sumie wpłynęło blisko 50 tysięcy protestów.

W zeszłym tygodniu Sąd Najwyższy zdecydował o oględzinach kart z łącznie 13 obwodowych komisji wyborczych, m.in. z komisji z Krakowa oraz Mińska Mazowieckiego. To „słynne” już komisje, które wyskakują na szczycie anomalii statystycznych w wielu analizach. Do postępowania SN w związku z protestami wyborczymi dołączyła się Prokuratura Generalna.

„Najbardziej bulwersująca sytuacja miała miejsce w Kamiennej Górze. W pakiecie głosów oddanych na Karola Nawrockiego znalazły się ważne głosy oddane na Rafała Trzaskowskiego. W protokole pierwotnie zapisano zwycięstwo Karola Nawrockiego. Po przeniesieniu głosów do odpowiedniej puli i policzeniu całości raz jeszcze – okazało się, że więcej głosów otrzymał jednak Rafał Trzaskowski" – napisał w sobotę 21 czerwca na X (czyli dawnym Twitterze) minister sprawiedliwości Adam Bodnar.

W środę 25 czerwca donosiliśmy, że Adam Bodnar wniósł o ponowne przeliczenie głosów w 1472 komisjach.

Analiza dr. Kontka, czyli 1482 komisje

Adam Bodnar powołuje się na analizę dr. Krzysztofa Kontka, który w swojej pracy wylicza, że do różnego rodzaju nieprawidłowości mogło dojść w 1482 obwodowych komisjach wyborczych, co mogło przełożyć się na 315-487 tys. dodatkowych głosów dla Karola Nawrockiego, a zatem zdecydować o jego zwycięstwie.

Dr Kontek również złożył protest wyborczy, a we wtorek wniosek o to, by posiedzenie, na którym będzie rozpatrywany jego protest, było jawne. Już w środę przed południem Izba Kontroli pozostawiła jego protest bez dalszego biegu.

Jeśli zaokrąglimy liczby podawane przez dr. Kontka, wynika, że w około 1500 komisji błędnie przypisano Nawrockiemu między 200 a 300 głosów.

Przypomnę, że w statystycznej komisji wyborczej oddano około 650 głosów. Błąd 200-300 głosów, czyli 30-45 procent, jest mało prawdopodobny. Już wyjaśniam dlaczego. Krok po kroku.

Obwody odrębne

W pracy dr. Kontka jest pewien zasadniczy błąd. Z analizy danych nie wyłączył odrębnych obwodów głosowania. Obwody „odrębne” to specjalne obwody tworzone w miejscach, w których pobyt nie ma charakteru stałego. Są wśród nich akademiki, szpitale, zakłady rehabilitacyjno-lecznicze, domy pomocy społecznej, areszty i zakłady karne.

Zwykle są dużo mniejsze niż zwykłe obwody głosowania, rzadko miewają ponad 50 zarejestrowanych wyborców. Ze względu na charakter takich obwodów, są one bardziej podatne na występowanie statystycznych anomalii wyborczych. Każdy może sprawdzić (bowiem dane z komisji wyborczych są dostępne na stronie PKW), że były i takie komisje, w których Karol Nawrocki zebrał sto procent głosów.

Większość z nich to właśnie domy opieki społecznej (w nich frekwencja była niska, przy urnie pojawiało się niewielu zarejestrowanych wyborców, ale wszystkie głosy padały na Nawrockiego). Są wśród nich także domy księży emerytów (w nich frekwencja była niebywale wysoka i również wszystkie głosy zbierał Nawrocki).

Z kolei w szpitalach czy ośrodkach rehabilitacyjnych między pierwszą a drugą turą wyborów skład zarejestrowanych wyborców może ulec zmianie. Nie powinno dziwić, jeśli w pierwszej turze wygrywa tam jeden z kandydatów, a w drugiej jego przeciwnik.

W pracy dr Kontek podaje, że analizował wyniki z 31 631 obwodów wyborczych spośród istniejących 32 143 (wykluczył 512 obwodów zagranicznych). Z pewnością zatem nie wykluczył obwodów odrębnych, bowiem tylko 29 815 obwodów było stałych (odrębnych 1 812).

Zawodna (mikro)geografia wyborcza

Dr Kontek zastosował też w swojej analizie metodę geograficzną. Jego algorytm wyliczał medianę w grupach kilkunastu sąsiadujących ze sobą obwodów wyborczych i jako anomalny oznaczał ten, w której wynik głosowania odbiegał od mediany w tej grupie. Taka anomalia – naokoło wszyscy głosują podobnie, a tu nagle inny wynik niż w sąsiedztwie – jak ulał pasuje do obwodu odrębnego, na przykład w domu opieki lub akademiku.

Problem z analizą dr Kontka widzę również w tym, że taka analiza rozbieżności względem sąsiednich obwodów oflaguje jako anomalie także niektóre obwody stałe. Będą wśród nich na przykład obwody obejmujące podmiejskie osiedla domów jednorodzinnych, jeśli sąsiadują z terenami rolniczymi.

Albo obwód obejmujący domy zamieszkałe przez osoby w wieku emerytalnym, jeśli jest otoczony przez nowe bloki zasiedlone przez młodszych wyborców.

W szpitalu skład wyborców może się przez dwa tygodnie całkowicie zmienić, a wraz z nim wyborcze preferencje głosujących w tym obwodzie. W miejscach pobytu tymczasowego rozbieżności w wynikach między pierwszą a drugą turą nie są szczególną “wyborczą anomalią”.

Trzy razy mniej anomalii

Nie ukrywam, że chętnie zobaczyłbym analizę dr. Kontka ograniczoną wyłącznie do stałych obwodów głosowania. Gdy z analiz wyborczych prowadzonych z Defoliatorem wyłączyliśmy odrębne obwody głosowania, liczba anomalii wskazywanych przez algorytm okazywała się ponad trzy do czterech razy niższa, a co za tym idzie – podobnie zmniejszała się liczba anomalnie przypisanych głosów.

Gdyby założyć podobny, trzykrotny spadek w analizie dr. Kontka, z 1482 komisji pozostałoby się 494. Nie wiem, jaka wyszłaby mu wtedy „średnia anomalia na podejrzaną komisję”. Z analiz Defoliatora wynikała średnia anomalia rzędu 50-100 głosów. Przy 494 komisjach dawałoby to 24 do 49 tys. głosów.

Do wyników dr. Kontka należy mieć jeszcze jedno najważniejsze zastrzeżenie. Swoją analizę poświęca poszukiwaniu anomalii wyborczych, ale jedynie na niekorzyść Trzaskowskiego. Z jego pracy nie dowiemy się w ogóle o istnieniu anomalii wyborczych na niekorzyść Nawrockiego (ani tym bardziej o ich skali), a przecież takie również były. Występowały rzadziej, ale Trzaskowski zyskiwał na nich średnio więcej głosów niż Nawrocki – co wiemy z analiz innych autorów.

Z argumentami o liczbie nieprawidłowości tak dużej (i na tyle dużych), że mogły zmienić wynik wyborów, rozprawia się bardzo szczegółowo Piotr Pacewicz w OKO.press w tekście „Wybory sfałszowane? Anomalie lokalne jako ostateczny argument? Sprawdzamy też inne analizy”.

Cytuje analizę dr. Batorskiego, o której również krótko wspomnę.

Skala wątpliwych wyników jest niewielka

Dr Dominik Batorski, socjolog i analityk danych z Interdyscyplinarnego Centrum Modelowania Matematycznego i Komputerowego (ICM), przeprowadził inną analizę, którą opublikowała strona “Mam prawo wiedzieć”.

Warto ją przeczytać, bo jej istotną częścią są wykresy, na których widać anomalie. Zacytuję jej fragmenty.

„Znaczące anomalie dotyczące wyniku Rafała Trzaskowskiego zdarzają się w zaledwie kilku komisjach. To komisje, w których Trzaskowski dostał w II turze zdecydowanie mniej głosów niż w pierwszej – obrazują je punkty poniżej czerwonej linii. Wyniki odnotowane w tych komisjach budzą uzasadnione wątpliwości i powinny zostać dokładnie sprawdzone. Przypadki te były szeroko omawiane w mediach. Jednak skala tych wątpliwych wyników jest niewielka”.

„W sumie Trzaskowski w II turze otrzymał mniej głosów niż w I turze w 130 komisjach. W większości były to komisje małe i specyficzne – na przykład szpitale”, pisze dr Batorski (czyli jednak w większości są to obwody odrębne).

„Nie obserwujemy znaczącego przyrostu frekwencji między I a II turą w komisjach, w których wygrywał Nawrocki. Wręcz przeciwnie, większe wzrosty frekwencji miały miejsce w komisjach w dużych miastach i tam, gdzie Trzaskowski miał lepsze wyniki”.

(Te wyniki są zbieżne z analizą wykonaną dla nas przez Defoliatora dwa tygodnie temu).

„W komisjach, w których w II turze wygrywał Trzaskowski, frekwencja wzrosła o 8,2 proc., a w tych, w których wygrywał Nawrocki, o 6,7 proc.; Dane te wskazują, że jest mało prawdopodobne, aby występowały fałszerstwa polegające na dosypywaniu głosów”. (Co również sugerowaliśmy dwa tygodnie temu).

Skądinąd wiemy, że skład przedstawicieli komitetów wyborczych w komisjach, gdzie dochodziło do pomyłek, był równomierny. Sprawdził to zespół BiQ Data “Gazety Wyborczej”.

Ludzka rzecz się mylić – ale o ile?

W tekście sprzed dwóch tygodni poruszałem też kwestię tego, jak często (i o ile) mylą się komisje przy liczeniu głosów. Cytowałem amerykańskie badania organizacji Fair Vote, która przyjrzała się tysiącom głosowań stanowych w latach 2000-2015.

Wynika z nich, że powtórne liczenie głosów nastąpiło w zaledwie 27 przypadkach z 4687. Przeciętna różnica wyników między pierwszym a drugim liczeniem wyniosła zaledwie 0,019 procent głosów.

Jeśli założymy, że w drugiej turze wyborów prezydenckich 1 czerwca błędnie zliczono 0,02 proc. głosów (z 21 033 457 oddanych), da nam to jedynie 4206 błędnie przypisanych głosów. Cytując ten raport organizacji Fair Vote nie wziąłem pod uwagę jednej rzeczy – biję się w pierś.

W USA głosy liczy się najczęściej maszynowo, za pomocą czytników optycznych. Liczby dotyczące zmiany ilości powtórnie liczonych głosów w tym raporcie odnoszą się do liczenia maszynowego.

Średnio o 0,87 procent

W 2024 roku zaledwie 0,17 proc. wyborców było zarejestrowanych w komisjach, gdzie głosy liczy się ręcznie (podaję za „Verified Voting”). Liczenie maszynowe jest tańsze. I dokładniejsze.

Jak bardzo mylą się w liczeniu głosów komisje? Pisze o tym na przykład amerykański Voting Rights Lab. W swoim raporcie przytacza dobrą analizę badaczy z MIT i Uniwersytetu Harvarda dotyczącą wyborów w stanie New Hampshire z lat 1946-2002. Dobrą, bo dotyczy długiego okresu i wielu setek wyborów.

Z analizy wynika, że przy liczeniu maszynowym błędnie przypisywanych głosów jest około 0,5 procent. Jak widać, nawet maszyny nie są nieomylne. Ludzie, jak można przypuszczać, mylą się bardziej i błędy sięgają średnio 0,87 procent liczby wszystkich głosów. Są to wartości średnie. Maksymalny błąd przy liczeniu maszynowym sięgał 8,27 procent, zaś przy ręcznym aż 21,88 procent głosów.

Proszę nie ulegać wyborczej panice i przekonaniu, że zwycięzcę tegorocznych wyborów prezydenckich mógł wyłonić błąd w liczeniu głosów. Mowa o średnim błędzie w pojedynczej komisji wyborczej (nie w skali całego głosowania). Przy wielu komisjach są to statystyczne drgania, w jednej komisji błąd na korzyść jednego kandydata, w następnej na korzyść drugiego, zaczną się znosić.

Niebywale nieprawdopodobne jest, żeby to błąd w liczeniu głosów wyłonił zwycięzcę wyborów w skali kraju. Wymagałoby to niezwykłego zbiegu okoliczności.

Zakładając, że prawdopodobieństwo błędu na korzyść jednego z dwóch kandydatów wynosi 50 procent, zbieg okoliczności, że wszystkie komisje z 32 tysięcy pomylą się na jego korzyść, wynosi 0,5 podniesione do potęgi 32. (Gdyby tę liczbę zapisać w tempie jednego zera po przecinku na sekundę, zajęłoby to prawie 9 godzin).

Badacze dodają, że maszynowe liczenie głosów ma jeszcze jedną przewagę. Przed jego rozpoczęciem można poddać je testom „na sucho”, co pozwala określić oczekiwany średni poziom błędu. Można też wyniki szybko przeliczyć ponownie, żeby sprawdzić ich poprawność.

W przypadku liczenia ręcznego nie ma możliwości pomiaru oczekiwanego poziomu błędu. Po przeliczeniu głosów nie wiadomo, jaki był faktyczny odsetek błędnie naliczonych głosów. Procedura powtórnego ich przeliczania jest żmudna i trwa wiele dni.

Po pierwsze, nie mnożyć

Czytając o wyborczych anomaliach ludziom trudno oprzeć się wrażeniu, że jednak wybory nie były do końca uczciwe.

„To niebezpieczna zabawa myślowa. Czytając np. artykuł Mariusza Jałoszewskiego o drastycznych pomyłkach w 11 komisjach na niekorzyść Trzaskowskiego, które – jak ustalił SN – kosztowały go 2609 głosów, ktoś mógłby zacząć przeliczać w głowie, że to średnio po 200 głosów na komisję, a komisji jest 32,1 tys., to może zatem oznaczać 6,4 mln ukradzionych głosów…” – pisze Piotr Pacewicz.

„Padamy tu ofiarą błędu myślowego, bo sprawdzana przez SN próbka komisji w najmniejszym stopniu nie jest losowa, są to wyłącznie miejsca podejrzane, w dodatku zgłoszone tylko przez wyborców Trzaskowskiego. Ulegamy też opisanemu przez psychologię efektowi poznawczej dostępności. Ujawnione przykłady błędów popełnionych przez komisje np. w Krakowie i Bielsku-Białej, skupiają naszą uwagę i umysł podsuwa je jako sposoby patrzenia na całość wyborów (tak jak wypadek rowerowy na sąsiedniej ulicy może sprawić, że zaczniemy się bać jeździć na rowerze po mieście)”.

Do słów Piotra Pacewicza można dodać, że wyciąganie wniosków na podstawie niereprezentatywnych prób i anomalnych wartości jest bardzo ludzkie. I całkowicie błędne naukowo. Prócz powyższych błędów poznawczych (“heurystyki dostępności” i zjawiska “Baader-Meinhof”) nasze umysły popełniają wiele innych.

Lista błędów poznawczych wyszczególniona w polskiej Wikipedii liczy kilkadziesiąt pozycji.

Błąd pominięcia wartości bazowej

Jednym z takich błędów poznawczych jest zaniedbywanie miarodajności (zwane też zaniedbywaniem prawdopodobieństwa bazowego lub błędem pominięcia wartości bazowej).

Wyobraźmy sobie, że mamy narzędzie, które błędnie sygnalizuje wykrycie pomyłki wyborczej w 5 procentach przypadków, natomiast nigdy się nie myli w przypadku rzeczywistego wykrycia pomyłki. Załóżmy też, że myli się średnio jedna komisja na tysiąc.

Wybieramy losową komisję, nasz test wskazuje w niej pomyłkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nasz test prawidłowo wskazał komisję, w której rzeczywiście doszło do błędu?

Większość odpowie „95 procent, przecież nasz test myli się tylko w 5 procentach przypadków”. Cóż, to zła odpowiedź. Prawdopodobieństwo, że nasz test naprawdę wskazał komisję, w której doszło do pomyłki, wynosi jedynie 2 procent. Jest to sprzeczne z intuicją, ale można to policzyć.

Nasz test myli się jedynie w 5 procent przypadków, to prawda. Czyli spośród 999 komisji, w których nie było błędów, błędnie wskaże nam 49,95 komisji (to jest właśnie ta wartość bazowa, którą pominęliśmy). Wskaże nam też komisję, w której rzeczywiście doszło do błędu, zatem z wytypuje 50,95 komisji.

Prawdopodobieństwo, że nasz test właściwie wytypował komisję, w której rzeczywiście doszło do błędu, wynosi zatem 1/50,95, czyli 0,019627. To niecałe 2 procent. To bardzo kiepski test.

Wybieramy dowody, by poczuć się lepiej

Gdy nasz obraz świata nie zgadza się z faktami, pojawia się dysonans poznawczy. Jest to nieprzyjemne, fizyczne uczucie napięcia. W teorii dysonansu poznawczego zakłada się wręcz, że jego unikanie jest takim samym popędem, jak głód czy pragnienie.

By unikać tego nieprzyjemnego stanu napięcia, często popełniamy błąd poznawczy zwany „błędem potwierdzenia”. Z argumentów, które do nas docierają, wybieramy te, które potwierdzają naszą tezę, a odrzucamy te, które jej przeczą. W psychologii ten mechanizm nazywa się selekcją dowodów.

Neurokognitywista Hugo Mercier i antropolog kultury Dan Sperber w książce „The Enigma of Reason. A New Theory of Human Understanding” (Tajemnica rozumu. Nowa teoria ludzkiego rozumienia) przytaczają badania, z których wynika, że te mechanizmy widać w badaniach mózgu rezonansem magnetycznym. Obstawanie przy własnym zdaniu aktywuje jego obszary powiązane z przyjemnością, a zmiana zdania – z niepokojem albo wręcz ze wstrętem.

Jeśli ktoś na podstawie jednej analizy wyborczych wyników uwierzył, że błędy i pomyłki mogły wpłynąć na wynik wyborów, nie przekona go już i pięć innych analiz, z których wynika, że jest przeciwnie. Ba, będzie do takich analiz podchodził z niepokojem – lub złością.

Złość jest emocją, która – najprościej mówiąc – sygnalizuje nam, że rzeczywistość nie jest taka, jak byśmy chcieli.

Głosy rozsądku

„Na dziś nie ma podstaw, by ponownie przeliczać głosy we wszystkich komisjach. Natomiast tam, gdzie sygnalizowane są nieprawidłowości, takie ponowne ich przeliczenie bezwzględnie powinno nastąpić”, mówił Onetowi prof. Marek Safjan, sędzia unijnego Trybunału Sprawiedliwości w stanie spoczynku, były prezes Trybunału Konstytucyjnego.

Niewątpliwie jednak błędy były. „Państwo nie zdało egzaminu w sprawie wyborów. Przerzuciło ciężar skutecznego głosowania na wyborców”, mówił “Wyborczej” Wojciech Hermeliński, były przewodniczący PKW.

„Nasze wybory już doznały ogromnego ciosu reputacyjnego. Nasze wybory są ośmieszone. Nie mamy do nich zaufania. Straty reputacyjne ma także zwycięzca. Mamy spaskudzone to, co powinno być świętem demokracji”, mówiła w TVP prof. Ewa Łętowska, była rzeczniczka praw obywatelskich i sędzia Trybunału Konstytucyjnego.

Bez wprowadzania rozwiązań technologicznych (czytników optycznych albo głosowania elektronicznego) pozostaje jedno rozwiązanie. Obserwatorzy nadzorujący liczenie głosów.

Wybory znów mogą stać się świętem demokracji – o ile wyborcy będą chętniej w nich uczestniczyć jako obserwatorzy.